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La beauté naturelle des mathématiques

Dans les arts ou la littérature, la beauté a peut-être perdu sa valeur au cours des dernières années en tant que norme de jugement ou critère d'excellence, considérée comme trop subjective ou soumise à une médiation culturelle. Pour les mathématiciens, cependant, la beauté en tant que vérité éternelle n'est jamais passée de mode. "La beauté est le premier test: il n'y a pas de place permanente dans ce monde pour les mathématiques laides", écrivait le théoricien britannique des nombres Godfrey Hardy en 1941.

Pour goûter à la beauté mathématique, commencez par vous rendre dans votre pub préféré et commandez une chope de bière glacée. Placez-le trois fois sur un napperon en papier, en formant trois anneaux de condensation, en veillant à ce que les trois anneaux se croisent en un point. Maintenant, demandez à vos compagnons: Quelle est la taille d'une tasse pour couvrir les trois autres points d'intersection? On suppose presque toujours que seul un gobelet gargantuesque servirait à cette fin. La réponse surprise: la même tasse! C'est une solution totalement infaillible. (Voir la figure à gauche pour deux solutions également valables; dans chaque cas, les cercles pleins sont les trois premiers anneaux; le cercle en pointillé est le quatrième anneau, représentant la tasse recouvrant les trois autres points d'intersection.)

Ce théorème a été publié par Roger A. Johnson en 1916. Le théorème de cercle de Johnson démontre deux des exigences essentielles de la beauté mathématique. Tout d'abord, c'est surprenant. Vous ne vous attendez pas à ce que le cercle de même taille apparaisse à nouveau dans la solution. Deuxièmement, c'est simple. Les concepts mathématiques impliqués, les cercles et les rayons, sont des concepts de base qui ont résisté à l'épreuve du temps. Cependant, le théorème de Johnson est insuffisant dans le département de la beauté sur un point saillant. Les meilleurs théorèmes sont également profonds, contenant de nombreuses couches de signification et révélant davantage à mesure que vous en apprenez davantage.

Quels faits mathématiques sont à la hauteur de ce niveau élevé de beauté? Le mathématicien allemand Stefan Friedl a plaidé en faveur du théorème de la géométrie de Grigory Perelman, pour lequel la preuve n'a été présentée qu'en 2003. Ce théorème, qui a créé une sensation dans le monde des mathématiciens, constitue une étape clé dans la classification des données topologiques tridimensionnelles. les espaces. (Vous pouvez considérer ces espaces comme des univers alternatifs possibles.) «Le théorème de la géométrie, explique Friedl, est un objet d'une beauté époustouflante.

Réduit à sa plus simple expression, il indique que la plupart des univers ont une structure géométrique naturelle différente de celle que nous apprenons au lycée. Ces univers alternatifs ne sont ni euclidiens, ni plats. La question concerne la courbure de l'espace lui-même. Il y a différentes façons d'expliquer ce que cela signifie. la plus précise mathématiquement est de dire que les univers alternatifs sont «hyperboliques» ou «incurvés négativement», plutôt que plats.

Les mathématiciens commencent seulement à comprendre les implications. Les données astrophysiques indiquent que notre propre univers est plat. Pourtant, dans ces univers alternatifs, la planéité n’est pas l’état naturel. Selon le théorème de Perelman, notre univers apparemment plat constitue une exception surprenante.

Une autre raison pour laquelle le théorème a attiré une publicité internationale tient au mathématicien lui-même. En 2010, le Russe solitaire a perdu un million de dollars pour sa percée au Clay Mathematics Institute de Cambridge, dans le Massachusetts. De toute évidence, pour Perelman, la beauté mathématique n’était pas quelque chose qui pouvait être acheté et payé. Changer notre compréhension de l'univers était une récompense suffisante.

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