Donc, vous vivez votre vie, content de comprendre le fonctionnement du monde: haut, haut, bas, le soleil se lève à l'est et se couche à l'ouest. Puis, hors de nulle part, un groupe de mathématiciens essaie de vous dire que la somme de tous les entiers positifs, c’est-à-dire 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... et ainsi de suite à l’infini est égale à .. . -1/12.
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Eh bien, c'est clairement ridicule, non? Comment des nombres de plus en plus grands, une fois réunis, peuvent-ils former un petit nombre? Comment des nombres entiers peuvent-ils faire une fraction? Comment les nombres positifs peuvent-ils créer un négatif?
Vous regardez donc le reste de la vidéo (ci-dessus), réalisée par Numberphile, un groupe de fous de maths avec une chaîne YouTube populaire (et généralement digne de confiance) sur les mathématiques. (Regardez. Ça vaut le coup. Nous attendrons.) Leur preuve semble solide. Un groupe de personnes très intelligentes, de l'astronome Phil Plait aux personnes de Physics Central, redoublent d'effort. "Il s'avère que les conclusions qu'ils tirent dans cette vidéo sont littéralement correctes. Vous pouvez ajouter une série infinie de nombres positifs, et ils totaliseront une fraction négative", a déclaré Plait.
Alors c'est ça, non? Les mathématiques n'ont pas de sens et le monde est étrange.
Mais ce n'est pas la fin de l'histoire.
Un deuxième groupe de personnes inclinées vers les mathématiques, comprenant la blogueuse américaine Scientific American et le physicien Greg Gbur, s’est rendu sur le Web pour montrer que la somme de tous les nombres positifs peut en quelque sorte être égale à -1/12 (résultat: ils expliquer, est utilisé tout le temps pour résoudre avec précision les problèmes de physique), cette réponse hallucinante ne fonctionne vraiment que si vous redéfinissez totalement certains concepts de base des mathématiques.
Phil Plait et l’équipe de Physics Central ont fini par revenir, et c’est le suivi de Physics Central qui nous a le plus aidés à nous faire comprendre ce dilemme.
Selon Physics Central, 1 + 2 + 3 + 4 +… n'équivaut qu'à -1/12 car les mathématiciens ont redéfini le signe égal. Dans ce style de mathématiques, appelé continuation analytique, "=" cesse de signifier "est égal à" et a commencé à signifier "est associé à". Mathématiciens délicats.
Cette astuce mathématique remonte loin, dit Physics Central. Cela fait partie des travaux du mathématicien indien pionnier Srinivasa Ramanujan, par exemple:
Ramanujan est un peu à blâmer aussi. Après tout, comment sommes-nous censés comprendre ce qu'il essayait de dire ici?
"Je lui ai dit que la somme d'un nombre infini de termes de la série: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = -1/12 dans ma théorie. Si je vous dis cela, vous me ferez immédiatement remarquer l'asile d'aliénés comme objectif. "
-S. Ramanujan dans une lettre à GH Hardy
Sommes-nous censés réaliser que "selon ma théorie" signifie que "=" ne signifie pas égal?
Je n'ai pas trouvé son travail original, mais plusieurs personnes ont reproduit un calcul d'Euler utilisant le même signe de la même manière. Si les deux côtés ne sont pas égaux, alors, comme je me souviens des mathématiques de deuxième année, vous ne pouvez pas utiliser un signe égal.
Alors, est-ce que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 .... = -1/12? Oui, mais seulement si, pour vous, un signe égal signifie autre chose que «est égal à».
Maintenant, cela ne veut pas dire que l'équipe Numberphile était juste en train de jouer avec nos têtes. La valeur -1/12 peut être prouvée de plusieurs façons et le résultat est certainement utile. Mais 1 + 2 + 3 + 4 + ... ne correspond certainement pas à "-1/12" en aucune manière qu'une personne y penserait normalement.
C'est une honte de constater que l'équipe de Numberphile a fait un tel saut sans l'expliquer aux gens, explique le physicien Greg Gbur.
La vidéo donne l'impression que c'est si simple, et sans controverse, presque évidente. Mais il y a quelques grandes hypothèses mathématiques cachées dans leur argument qui, à mon avis, le rendent très trompeur. En d'autres termes: dans un sens mathématique restreint et spécialisé, on peut attribuer la valeur -1/12 à la somme positive croissante. Mais dans le sens habituel de l'addition que la plupart des êtres humains utiliseraient de manière intuitive, le résultat est absurde.
Pour moi, il s'agit d'une distinction importante: une partie déprimante de la population suppose automatiquement que les mathématiques sont une magie non intuitive et bizarre que seuls les super-intelligents peuvent comprendre. Afficher un résultat aussi fou sans qualification ne fait que renforcer ce point de vue et, à mon avis, nuit aux mathématiques.
Nous n'avons même pas essayé de nous attaquer à de longues preuves pour résoudre ce débat ici, mais si vous voulez plus, consultez:
Correction: Est-ce que 1 + 2 + 3 + 4 +. . . = -1 / 12? Absolument pas! Par Physics Central
Série infinie: pas aussi étrange que certains diraient de Greg Gbur
Suivi: La série Infinite et le résultat époustouflant de Phil Plait
Est-ce que 1 + 2 + 3… vraiment égal à -1/12? par Evelyn Lamb
