Le 20 mars, le mathématicien américano-canadien Robert Langlands a reçu le prix Abel, qui souligne les réalisations de toute une vie en mathématiques. Les recherches de Langlands ont montré comment les concepts de géométrie, d'algèbre et d'analyse pouvaient être rassemblés par un lien commun aux nombres premiers.
Lorsque le roi de Norvège remettra cette récompense à Langlands en mai, il honorera le dernier en deux 2300 ans de compréhension des nombres premiers, sans doute le jeu de données le plus important et le plus ancien en mathématiques. En tant que mathématicien consacré à ce «programme de Langlands», je suis fasciné par l’histoire des nombres premiers et par la façon dont les avancées récentes dévoilent leurs secrets. Pourquoi ont-ils captivé les mathématiciens pendant des millénaires?
Pour étudier les nombres premiers, les mathématiciens tendent des nombres entiers sur un maillage virtuel après l'autre jusqu'à ce qu'il ne reste plus que des nombres premiers. Ce processus de tamisage a produit des tables de millions de nombres premiers dans les années 1800. Il permet aux ordinateurs actuels de trouver des milliards de nombres premiers en moins d'une seconde. Mais l'idée de base du tamis n'a pas changé depuis plus de 2 000 ans.
"Un nombre premier est ce qui est mesuré par l'unité seule", écrit le mathématicien Euclid en 300 avant JC. Cela signifie que les nombres premiers ne peuvent pas être divisés de manière égale par un nombre plus petit sauf 1. Par convention, les mathématiciens ne comptent pas 1 un nombre premier. Euclide a prouvé l'infinitude des nombres premiers - ils durent éternellement - mais l'histoire suggère que c'est Eratosthenes qui nous a donné le crible pour lister rapidement les nombres premiers.
Voici l'idée du tamis. Filtrez d'abord les multiples de 2, puis de 3, puis de 5, puis de 7, les quatre premiers nombres premiers. Si vous faites cela avec tous les nombres de 2 à 100, seuls les nombres premiers resteront.
L'utilisation de multiples de 2, 3, 5 et 7 ne laisse que les nombres premiers entre 1 et 100. (Gracieuseté de MH Weissman) Avec huit étapes de filtrage, on peut isoler les nombres premiers jusqu’à 400. Avec 168 étapes de filtrage, on peut isoler les nombres premiers jusqu’à 1 million. C'est le pouvoir du tamis d'Eratosthène.
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John Pell, un mathématicien anglais qui s’est consacré à la création de tableaux de nombres utiles, est un des premiers chiffres de la tabulation des nombres premiers. Il était motivé à résoudre d'anciens problèmes arithmétiques de Diophantos, mais aussi par une quête personnelle d'organisation de vérités mathématiques. Grâce à ses efforts, jusqu’à 100 000 personnes ont été largement diffusées au début des années 1700. En 1800, des projets indépendants avaient totalisé jusqu'à un million de personnes.
Pour automatiser les fastidieuses étapes de tamisage, un mathématicien allemand, Carl Friedrich Hindenburg, a utilisé des curseurs ajustables pour découper des multiples sur une page entière d'un tableau à la fois. Une autre approche peu technique mais efficace utilisait des pochoirs pour localiser les multiples. Au milieu des années 1800, le mathématicien Jakob Kulik s’est lancé dans un ambitieux projet visant à trouver tous les nombres premiers jusqu’à 100 millions.
Un pochoir utilisé par Kulik pour tamiser les multiples de 37. AÖAW, Nachlass Kulik, (Image reproduite avec la permission de Denis Roegel, auteur fourni) Ces «données massives» des années 1800 pourraient ne servir que de table de référence, si Carl Friedrich Gauss n’avait pas décidé d’analyser les nombres premiers pour eux-mêmes. Armé d'une liste de nombres premiers pouvant aller jusqu'à 3 millions, Gauss a commencé à les compter, un "chiliad", ou groupe de 1 000 unités, à la fois. Il a compté les nombres premiers jusqu'à 1 000, puis les nombres premiers entre 1 000 et 2 000, puis entre 2 000 et 3 000, etc.
Gauss découvrit que plus il comptait, plus les nombres premiers devenaient progressivement moins fréquents selon une loi dite du «log inverse». La loi de Gauss n'indique pas exactement le nombre de nombres premiers, mais elle donne une assez bonne estimation. Par exemple, sa loi prévoit 72 nombres premiers compris entre 1 000 000 et 1 001 000. Le nombre correct est 75 nombres premiers, soit une erreur de 4%.
Un siècle après les premières explorations de Gauss, sa loi était vérifiée dans le «théorème des nombres premiers». Le pourcentage d'erreur s'approche de zéro pour des nombres de plus en plus grands. L’hypothèse de Riemann, un problème de prix d’un million de dollars aujourd’hui, décrit également la précision de l’estimation de Gauss.
Le théorème des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann attirent l'attention et l'argent, mais les deux ont fait suite à une analyse de données antérieure moins glamour.
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Aujourd'hui, nos ensembles de données proviennent de programmes informatiques plutôt que de pochoirs découpés à la main, mais les mathématiciens trouvent encore de nouveaux modèles dans les nombres premiers.
À l'exception de 2 et 5, tous les nombres premiers se terminent par les chiffres 1, 3, 7 ou 9. Dans les années 1800, il a été prouvé que ces derniers chiffres possibles sont tout aussi fréquents. En d’autres termes, si vous regardez les nombres premiers jusqu’à un million, environ 25% finissent sur 1, 25% finissent sur 3, 25% finissent sur 7 et 25% finissent sur 9.
Il y a quelques années, les théoriciens des nombres de Stanford, Lemke Oliver et Kannan Soundararajan, ont été pris au dépourvu par des bizarreries dans les derniers chiffres des nombres premiers. Une expérience a examiné le dernier chiffre d'un nombre premier, ainsi que le dernier chiffre du nombre premier suivant. Par exemple, le prochain nombre premier après 23 est 29: on voit un 3 puis un 9 dans leurs derniers chiffres. On voit 3 puis 9 plus souvent que 3 puis 7, parmi les derniers chiffres des nombres premiers?
Fréquence des paires des derniers chiffres, parmi des nombres premiers successifs allant jusqu'à 100 millions. Les couleurs correspondantes correspondent aux lacunes. (MH Weissman, CC BY) Les théoriciens du nombre s'attendaient à des variations, mais ce qu'ils ont trouvé dépassait de loin les attentes. Les primes sont séparées par différentes lacunes. par exemple, 23 est six à partir de 29. Mais 3-alors-9 nombres premiers comme 23 et 29 sont beaucoup plus communs que 7-alors-3 nombres premiers, même si les deux viennent d'un écart de six.
Les mathématiciens ont vite trouvé une explication plausible. Mais, lorsqu'il s'agit d'étudier des nombres premiers successifs, les mathématiciens sont (principalement) limités à l'analyse et à la persuasion de données. Les preuves - la norme par excellence des mathématiciens pour expliquer pourquoi les choses sont vraies - semblent bien éloignées des décennies
Cet article a été publié à l'origine sur The Conversation.
Martin H. Weissman, professeur agrégé de mathématiques, Université de Californie à Santa Cruz
